Matematyka B

Przygotowanie do wysłuchania wykładów wymagających zaawansowanego aparatu matematycznego, takich jak chemia kwantowa czy termodynamika.

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych: przestrzenie unormowane i metryczne; zbiory w przestrzeniach metrycznych; granica i ciągłość funkcji; granica ciągu; podciągi i twierdzenie Bolzano-Weierstrassa; granica funkcji w punkcie; ciągłość funkcji; różniczkowanie funkcji wielu zmiennych; ekstrema lokalne; druga pochodna funkcji o wartościach rzeczywistych; twierdzenie Taylora; warunki konieczne i dostateczne ekstremów lokalnych; macierze dodatnio i ujemnie określone.

Równania różniczkowe zwyczajne: pojęcia wstępne; najprostsze typy równań i ich rozwiązywanie; równania liniowe o stałych współczynnikach pierwszego i drugiego rzędu; teoria rozwiązalności; uwagi na temat jakościowej teorii równań.

Całki iterowane i wielokrotne: całka interowana; miara zbiorów w Rn; właściwości całek i miary; interpretacja geometryczna mierzalności Jordana-Riemanna; miara zbiorów nieograniczonych i całki niewłaściwe; wzór na zamianę zmiennych w całce wielokrotnej.

Całki na krzywych i powierzchniach: długość krzywej, całka krzywoliniowa; powierzchnie; pole powierzchni; praca jako całka 1-formy; wzór Greena; wzór Gaussa-Ostrogradskiego, przykłady jego zastosowań w fizyce; wzór Stokesa i operacje analizy wektorowej.

Przestrzenie Hilberta: przestrzenie unitarne; szeregi Fouriera; przestrzenie

L2(G) i całka Lebesgue'a; przekształcenia unitarne i ortogonalne; formy dwuliniowe i kwadratowe; metoda najmniejszych kwadratów; wektory i wartości własne; układy liniowe równań różniczkowych.